“谁主张，谁举证”的原则，被告主张原告手中的证据系伪造，那么就有举证义务。不用原告担心。需要鉴定真伪，鉴定费的是鉴定机构收取的，与律师无关，可以委托鉴定机构直接鉴定。
遗嘱笔记鉴定可以由原告在诉讼过程中向法院提出主张；应当由原告承担举证责任，即由原告提出鉴定申请。理由是：被告提供遗嘱，其举证责任已经完成。现原告提出遗嘱系伪造的，应提供证据加以证明。
同理，遗嘱时间鉴定也应该是由原告提出主张。法院委托的鉴定机关：摇号所得，为具有司法鉴定资质的地方司法鉴定单位。
《继承法》规定：

第十七条 公证遗嘱由遗嘱人经公证机关办理。自书遗嘱由遗嘱人亲笔书写，签名，注明年、月、日。代书遗嘱应当有两个以上见证人在场见证，由其中一人代书，注明年、月、日，并由代书人、其他见证人和遗嘱人签名。
以录音形式立的遗嘱，应当有两个以上见证人在场见证。遗嘱人在危急情况下，可以立口头遗嘱。口头遗嘱应当有两个以上见证人在场见证。危急情况解除后，遗嘱人能够用书面或者录音形式立遗嘱的，所立的口头遗嘱无效。

扩展资料：
《中华人民共和国继承法》

第十六条 公民可以依照本法规定立遗嘱处分个人财产，并可以指定遗嘱执行人。
公民可以立遗嘱将个人财产指定由法定继承人的一人或者数人继承。
公民可以立遗嘱将个人财产赠给国家、集体或者法定继承人以外的人。
第十八条 下列人员不能作为遗嘱见证人：
无行为能力人、限制行为能力人；
继承人、受遗赠人；
与继承人、受遗赠人有利害关系的人。
第十九条 遗嘱应当对缺乏劳动能力又没有生活来源的继承人保留必要的遗产份额。
第二十条 遗嘱人可以撤销、变更自己所立的遗嘱。
立有数份遗嘱，内容相抵触的，以最后的遗嘱为准。
自书、代书、录音、口头遗嘱，不得撤销、变更公证遗嘱。
第二十一条 遗嘱继承或者遗赠附有义务的，继承人或者受遗赠人应当履行义务。没有正当理由不履行义务的，经有关单位或者个人请求，人民法院可以取消他接受遗产的权利。
第二十二条 无行为能力人或者限制行为能力人所立的遗嘱无效。
遗嘱必须表示遗嘱人的真实意思，受胁迫、欺骗所立的遗嘱无效。伪造的遗嘱无效。
遗嘱被篡改的，篡改的内容无效。
参考资料来源：搜狗百科-中华人民共和国继承法